\chapter{第三周作业}
\section{例题(例题不用写在作业里)}
\subsection{求平面图形的面积}

\begin{example}
    求拋物线$y^2=2x$与直线$x-y = 4$所围成的区域的面积(图 
 \ref{fig:curve1})
\end{example}
    
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{image/curve1.png}
    \caption{抛物线和直线相交}
    \label{fig:curve1}
\end{figure}
% 答案是18
\begin{example}[极坐标情形]\label{ex:heartline}
求心形线
   \(r=a(1+\cos\theta)(a>0)\)
所围成的图形面积
\end{example}

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\linewidth]{image/heartline.png}
    \caption{心形线}
    \label{fig:heartline}
\end{figure}

\subsection{求曲线的弧长}
\begin{example}
    求星形线
    \[\begin{aligned}
        x=a\cos^3t, y=a\sin^3t(0\leq t \leq 2\pi,a>0)
    \end{aligned}\]
    的弧长
\end{example}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\linewidth]{image/startcurve.png}
    \caption{星形线}
    
    \label{fig:starcurve}
\end{figure}
\begin{example}
    求例 \ref{ex:heartline}中“心形线”的的弧长
\end{example}
\subsection{求空间区域的体积}
\begin{example}\label{ex:space1}
求圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 和 $x^2+z^2=a^2$ 相交部分的体积.
\end{example}
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\linewidth]{image/space1.png}
    \caption{空间相交的体积}
    \label{fig:space1}
\end{figure}
\begin{example}
    求半径为\(a\)的球体的体积
\end{example}
\subsection{旋转曲面的面积}
\begin{example}
    计算半径为$a$ 的球面的面积.
\end{example}
\begin{example}\label{ex:hearline2}
    设心脏线的极坐标方程为 $r=a\left(1+\cos\theta\right)\left(a>0\right).$ 试计算：
    \begin{enumerate}[(1)]
        \item 它的长度.
        \item 它绕极轴旋转一周所产生的立体的体积；
        % \item 它绕极轴旋转一周所产生的立体的侧面积.
    \end{enumerate}
\end{example}
\subsection{无穷积分和瑕积分}
\begin{example}
    设\(a>0\),计算无穷积分\(\begin{aligned}
        \int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax}\cos
 bx\mathrm{d}x\text{,}\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-ax}\sin bx\mathrm{d}x.
    \end{aligned}\)
\end{example}
\begin{example}
    \(\begin{aligned}
        \int_{0}^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x
    \end{aligned}\)
\end{example}
\begin{example}
计算
$\begin{aligned}
    \int_a^b\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{\left(x-a\right)\left(b-x\right)}}.
\end{aligned}$
\end{example}

\begin{example}[次要]\label{ex:lnsinx}
    计算\(\begin{aligned}
        \int_0^{\pi/2}\ln\sin x\mathrm{d}x
    \end{aligned}\)
\end{example}

\begin{proof}
\href{https://www.zhihu.com/question/302633890/answer/2977624425}{知乎回答}：
\qrcode{https://www.zhihu.com/question/302633890/answer/2977624425}
\end{proof}
% \begin{example}
%     利用例 \ref{ex:lnsinx}的结果，计算：
%     \(\begin{aligned}
%     \int_0^{\pi/2}x\cot x\mathrm{d}x
%     \end{aligned}\)
% \end{example}

\section{练习题}
\subsection{计算反常积分}
\begin{enumerate}
    \item \(\begin{aligned}
        \int_0^{+\infty}x^{2n+1}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x(n\in N^*)
    \end{aligned}\)
    \vspace{1em}
    \item \(\begin{aligned}
        \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^3};
    \end{aligned}\)
    \vspace{1em}

    \item \(
    \begin{aligned}
        \int_{-1}^1\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x
    \end{aligned}\)
    \vspace{1em}
    \item \(\begin{aligned}\int_0^1\ln^nx\mathrm{d}x(n\in N^*)\end{aligned}\)
    \vspace{1em}
\end{enumerate}
\subsection{求下列方程所表示的曲线围成区域的面积}
\begin{enumerate}
    \item \(\begin{aligned}
        y=2x-x^2,x+y=2;
    \end{aligned}\)
    % \item \(\begin{aligned}
    %     y=x^2,y=x+\sin^2x^2(0\leq x\leq \pi);
    % \end{aligned}\)
    \item 三叶线：\(\begin{aligned}
        r=a\sin3\theta\left(a>0\right);
    \end{aligned}\)
    \vspace{1em}
\end{enumerate}
% \subsubsection{其他}
% \begin{enumerate}
%     \item 做一下例 \ref{ex:space1}
%     \item 做一下例 \ref{ex:hearline2}
%     % \item 求曲线\(y=\sin x(0\leq x\leq\pi)\)绕\(x\)轴一周产生的旋转面的面积.
% \end{enumerate}
\subsection{其他}
\begin{enumerate}
    \item 习题6.6-1.(8)
    \item 习题6.6-4.(2)
    \item 习题6.6-4.(3)
    \item 习题6.6-4.(4)
\end{enumerate}
\newpage
